Contents
  1. 1. 连续
  2. 2. 导数
    1. 2.1. 定义
    2. 2.2. 可导
  3. 3. 微分
    1. 3.1. 定义
    2. 3.2. 可微
  4. 4. 连续,可导,可微的关系
  5. 5. 全微分
  6. 6. 梯度
  • Referen
  • 连续

    设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 有定义,若
    $\displaystyle\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)$
    则函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

    另外一种定义:
    在点 $x_0$ 附近,如果自变量的该变量是无穷小时,对应的因变量的该变量也是无穷小,则这个函数在点 $x_0$ 处连续。

    通俗地说,所谓“连续”,就是不间断。放到函数上,就是没有“断点”(但是可以有“拐点”)。

    二元函数的连续性定义与一元函数类似。

    导数

    定义

    导数(Derivative)是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

    导数的几何定义是:曲线上的纵坐标对点的横坐标的导数是曲线在该点的切线的斜率。

    导数的物理意义之一是:位移s对时间t的导数是瞬时速度,即 $v=\frac{ds}{dt}$

    可导

    函数可导定义:
    (1)设 f(x)在 $x_0$ 及其附近有定义,则当 $\displaystyle\lim_{\Delta{x}\to0}{\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{a}}$ 存在, 则称 f(x) 在 $x_0$ 处可导。
    (2)若对于区间 (a,b) 上任意一点 (x,f(x)) 均可导,则称 f(x) 在 (a,b) 上可导。

    左导数:$\displaystyle\lim_{\Delta{x}\to0^-}{\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{a}}$
    右导数:$\displaystyle\lim_{\Delta{x}\to0^+}{\frac{f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)}{a}}$

    连续函数可导条件:函数在该点的左右偏导数都存在且相等。
    即就是一个函数在某一点求极限,如果极限存在,则为可导,若所得导数等于函数在该点的函数值,则函数为连续可导函数,否则为不连续可导函数。

    微分

    在数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。

    定义

    若 y=f(x) 在处可导,则函数的增量,
    $\Delta{y}=f(x+\Delta{x})-f(x)=f’(x)\Delta{x}+\alpha(\Delta{x})\Delta{x}$
    其中 $\alpha(\Delta{x})$ 是$\Delta{x}(\Delta{x} \to 0)$ 的高阶无穷小。
    称 $f’(x)\Delta{x}$ 为 $f(x)$ 在 $x$ 处的微分。
    而 $f’(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x$ 处的导数。

    可微

    设函数$y= f(x)$,若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系$Δy=AΔx+ο(Δx)$
    其中A与Δx无关,则称函数f(x)在点x可微,并称AΔx为函数f(x)在点x的微分,记作dy,即$dy=AΔx$
    当$x=x_0$时,则记作$dy∣x=x_0$.

    可微条件:
    必要条件:若函数在某点可微,则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
    充分条件:若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。

    连续但不可微的例子:

    魏尔斯特拉斯函数连续,但在任一点都不可微

    连续,可导,可微的关系

    • 一元函数:可导必然连续,连续推不出可导,可导与可微等价。
    • 多元函数:可偏导与连续之间没有联系,也就是说可偏导推不出连续,连续推不出可偏导。
    • 多元函数中可微必可偏导,可微必连续,可偏导推不出可微,但若一阶偏导具有连续性则可推出可微。

    全微分

    对于多元函数,如果两个自变量都变化的话,这时候函数的微分就称为全微分。如果函数z=f(x,y)在(x,y)处的全增量$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$可以写成$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$,
    取其线性主部,称为二元函数的全微分 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y$

    可以证明全微分又可写成$dz=f_x dx+f_ydy =\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

    上式又称为全微分的叠加原理。可以这么理解:全增量包含两个部分,$\Delta x$引起的函数值增量和$\Delta y$引起的函数值增量。

    一句话感性说全微分其实就在表达曲面在某一点处的切平面。

    梯度

    梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。

    例如:在一元函数 f(x) 中,梯度只能沿 x 轴正方向或负方向,而在二元函数 f(x,y) 中,梯度则是一个二维向量 (∂f/∂x,∂f/∂y)。

    梯度一个重要的性质:梯度跟函数等高线是垂直的。
    证明:
    假设 Δx,Δy 是两个极小的变化量,根据全微分的知识,可以得到:
    f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y)+∂f∂xΔx+∂f∂yΔy
    如果 (Δx,Δy) 是在等高线方向的增量,那么 f(x+Δx,y+Δy)≈f(x,y),这意味着 ∂f∂xΔx+∂f∂yΔy=0,换句话说,向量 ∇f 和向量 (Δx,Δy) 的内积为 0。所以,梯度和函数的等高线是垂直的。

    Referen

    http://jermmy.xyz/2017/07/27/2017-7-27-understand-lagrange-multiplier/

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    1. 1. 连续
    2. 2. 导数
      1. 2.1. 定义
      2. 2.2. 可导
    3. 3. 微分
      1. 3.1. 定义
      2. 3.2. 可微
    4. 4. 连续,可导,可微的关系
    5. 5. 全微分
    6. 6. 梯度
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